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游戏与概率有何不解之缘?

Cain 发表于 2016-1-7 06:25:54 [ 上一主题] [下一主题]

爱因斯坦那句经典的名言“上帝永远不会掷骰子”相信大家都听说过,概率已经从一种工具上升到了世界观的层面。而概率最初从何而来,它与游戏又有哪些渊源呢?
  概率论作为数学领域的一大分支,是进行科学研究的重要工具。我们的日常生活中也经常说到概率,或者是它的其他叫法比如“几率”、“可能性”等等。伴随着20世纪量子理论的兴起,整个世界都变得“概率”了,以往的严格决定论被不确定性原理所取代。爱因斯坦那句经典的名言“上帝永远不会掷骰子”相信大家都听说过,概率已经从一种工具上升到了世界观的层面。而概率最初从何而来,它与游戏又有哪些渊源呢?
概率论是怎样从游戏中诞生的?
  说了半天的“概率”,我们还是先了解下概率的定义吧。概率是对随机事件发生可能性的度量,也有人叫它机会率、几率等,通常使用0~1之间的数表示,有时候我们也会用百分数表示,道理是一样的啦!1或者100%表示这个事情一定会发生,反过来,0或者0%(其实还是0)表示事件一定不会发生,从0~1之间的数就表示事件发生的可能性,越大发生的可能性越大,反之亦然。概率论则可以通俗的理解成研究概率的理论。
  概率论的诞生颇有些戏剧性,在文艺复兴时期,意大利有位学者名叫卡尔达诺(Girilamo Cardano,也译作卡当),这位学者也算是个全才,在数学、物理、占星方面都有所研究,还是个医学博士,唯一的缺点就是好赌,而且赌运不佳。当时的赌博就是最简单的掷骰子,也就是骰子游戏,我们的卡尔达诺就在这小小的骰子上输掉了大量的家产。卡尔达诺先生充分发挥了自己的专业技能,开始专研怎样赌骰子胜算比较大,最后还整理出来了一部专著《论赌博游戏》。在这本书中,卡尔达诺描述了概率的古典概型,得出了“同时投掷两个骰子,出现的点数之和是7的可能性最大”的结论。只是不知道这个结论有没有让卡尔达诺在骰子游戏中占得先机。
  无独有偶,100多年后,法国的赌徒梅内(Chevalier de Mere,也译作梅累)又遇到了概率难题,他玩骰子,有两种玩法,一个是掷一个骰子4次,看这4次中是否能掷出一个6;另一个是同时掷两个骰子,连续扔24次,看能否出现一次点数和为12的情况。梅内觉得两者赢得可能性是相等的,事实却是第一个游戏他赢得多一些,而第二个输得多一些。
  梅内虽然不像卡尔达诺一样是个数学家,但是梅内有懂得数学的朋友。梅内把他的问题和当时的著名数学家帕斯卡说了(就是那个物理学家帕斯卡,他其实也是数学家),除了这个问题还有几个其他的梅内在赌桌前遇到的困惑,包括著名的“赌金分配”问题。这几个问题激起了帕斯卡的兴趣,在随后的几年,他与另一位数学家费马通过信件交流,解答了赌金分配的问题,并且定义了概率。后来,惠更斯也加入了进来,并在讨论的基础上写出了《论赌博中的计算》。这也被认为是概率论的开山之作,在书中描述了概率论的基本公理体系,从此概率论脱离了骰子游戏。
概率是怎样融入到游戏中的?
  此后漫长的岁月,见证了概率论的发展和在社会各个领域的应用。而我们的游戏也在近一个世纪开始出现了新的形态——桌面游戏。严格地说,桌面游戏的历史可以追溯到几千年以前,但是桌面游戏的复兴的确是在20世纪初期才开始的。
  在国内,让桌游突然火起来的功臣非“三国杀”莫属了,最近几年,三国杀可以算是风靡大江南北,长年占据国内桌游销售榜首位,除了是以三国历史为背景,另一方面也是游戏的平衡性做得很好,技能设计比较合理。为了保证每个玩家都能很好的体验游戏,每个技能的强度要大体相等,这就需要概率在背后做支持。下面我们来举个例子看一下,概率是怎样支持着游戏的。
  


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起落炎凉终如是  不若倚风笑斜阳

Cain 发表于 2016-1-7 06:27:02

沙发

周瑜的技能“英姿”(英姿:摸牌阶段,你多摸一张牌)、貂蝉的技能“闭月”(回合结束阶段,你可以摸一张牌)和甄姬的技能“洛神”(洛神:回合开始阶段,你可以进行判定,若牌为黑色,立即获得此牌,并可以再次使用洛神——如此反复,直到出现红色判定牌为止。)

  这三个技能是标准版中补牌的好技能,第一个“英姿”和第二个“闭月”,除了时机不同,强度是一样的,都是摸一张牌。而“洛神”技能使用起来的不确定性可就要大得多,有人说“洛神”太厉害了,一次可以摸好多张牌;有人说“洛神”太弱了,经常一张牌都摸不到。为了准确衡量“洛神”的强度,我们引入概率论来解释这一问题。

  回顾之前的基本定义,结合上面的例子,不难发现“英姿”和“闭月”摸一张牌的概率都是100%,而洛神的话概率相对来说要麻烦一些,我们先要了解牌库的构成。首先要知道的是,三国杀的牌库中红色和黑色各一半,牌库用完会洗牌,那么在假设牌库是无限的情况下,每次打开一张判定牌,红色和黑色的概率是相等的都是0.5,如果第一张是红色,那么这次技能就结束了;如果是黑色,我们可以再打开一张,同样红黑的可能性是相等的而且是对半的,那么第二张摸到红色卡牌的概率是0.5的平方,也就是0.25,此时,洛神的收益是一张,以此类推,可以得到下表

洛神收益
0
1
2
3
4
5
6
……
N
摸牌次数
1
2
3
4
5
6
7
……
N+1
发生概率
0.5
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
……
0.5n+1

  为了计算最后总体的收益,我们引入概率论里面的又一个重要概念——“期望”。

  期望是指一切可能值与其对应的概率的乘积之和,在这个例子中可能值就是指的洛神的收益,也就是第一行,而对应的概率就是指同一列中最后一行的数值,对应相乘再相加。

  那么,洛神的期望收益可以用这个算式来表示

P洛神=0×0.5+1×0.52+2×0.53+3×0.54+4×0.55+…+n×0.5n+1

  这个算式里面P是英文单词“收益(profit)”的缩写,n是正整数,趋向于无穷。

  现在,我们有了算式,但是要怎么计算呢?这个算式倒是可以看成是数列求和,但是也不是等差数列也不是等比数列,而是两种数列的混合,面对这种数列求和,我们可以使用“错位相减法”。

  具体的做法是,将整个算式乘以0.5,算式就变成了

0.5×P洛神=0×0.52+1×0.53+2×0.54+3×0.55+…+(n-1)×0.5n+1+n×0.5n+2

  两个算式做减法,0.5的同次方项对应相减,可得

0.5×P洛神=0.52+0.53+0.54+0.55+…+0.5n+1-n×0.5n+2

  这样就看到了我们熟悉的等比数列了,运用等比数列求和公式,Sn=a1(1-qn)/(1-q),(其中a1为首项,q为公比)

P洛神=1-(1+0.5×n)×0.5n

  当n=10的时候,洛神的期望收益,0.994≈1,当n取更大的值得时候期望收益会变得更接近于1,n等于几,表示你限定最多抽几次牌,而期望收益约等于1,则说明在多次使用这个技能的时候平均每次的得牌数会稳定在一张。这和周瑜的“英姿”、貂蝉的“闭月”是等价的。不同的是,“英姿”、“闭月”是稳定的每回合一张,而“洛神”是多次使用平均每次一张,会有比一张多,也会有一张都拿不到,但是多次使用的平均效果会是一张。在保证预期收益相等的情况下,增加了技能的变化,丰富了游戏的可玩性,概率就这样在背后默默地支持着游戏机制的均衡。

  概率论在游戏中的应用当然不仅限于此,事实上,在一些大型的电子游戏中也应用了概率论,有些概率甚至可以反映在游戏的面板上让我们看到,比如RPG游戏里面的数值,有些概率我们只能看到对应的随机事件的发生,比如射击游戏里的子弹轨迹。可以说,有了概率论,以及计算机处理器强大的运算能力,才使得游戏世界变得更加多变,更加贴近我们的真实生活。


参考文献:《数学理论:在意想不到的地方与实际相遇》


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